Вопрос школьника
Докажите, что если диагонали вписанного четырехугольника перпендикулярны, то сумма квадратов противоположных сторон четырехугольника равна квадрату диаметра описанной окружности.
Ответ от учителя
Пусть ABCD — вписанный четырехугольник, в котором диагонали AC и BD перпендикулярны. Пусть O — центр описанной окружности, R — радиус описанной окружности, AB = a, BC = b, CD = c, DA = d.
Так как AC и BD перпендикулярны, то они являются диаметрами окружности, описанной вокруг четырехугольника ABCD. Следовательно, точка O — середина диагонали AC и BD.
Рассмотрим треугольники AOB и COD. Они являются прямоугольными, так как стороны AB и CD являются хордами окружности, а диагонали AC и BD являются ее диаметрами. Также эти треугольники подобны, так как углы при вершине O равны (они соответственные углы при пересечении параллельных прямых AB и CD). Следовательно, соотношение сторон треугольников AOB и COD равно:
$frac{a}{c} = frac{b}{d}$
Умножим обе части на $cd$:
$ad = bc$
Теперь рассмотрим выражение для квадрата диаметра описанной окружности:
$4R^2 = (AC)^2 + (BD)^2$
Заменим длины диагоналей на стороны четырехугольника, используя теорему Пифагора для треугольников AOB и COD:
$(AC)^2 = a^2 + b^2$
$(BD)^2 = c^2 + d^2$
Подставим эти выражения в формулу для квадрата диаметра:
$4R^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2$
Теперь воспользуемся равенством $ad = bc$:
$4R^2 = a^2 + 2ab + b^2 + c^2 + 2cd + d^2 — 2ab — 2cd$
$4R^2 = (a+b)^2 + (c+d)^2 — 2ab — 2cd$
$4R^2 = (a+b)^2 + (c+d)^2 — 2(ad+bc)$
$4R^2 = (a+b)^2 + (c+d)^2 — 2(ad+ad)$
$4R^2 = (a+b)^2 + (c+d)^2 — 4ad$
Так как $ad = bc$, то можно записать:
$4R^2 = (a+b)^2 + (c+d)^2 — 4bc$
Но $a+b = c+d$, так как противоположные стороны четырехугольника равны (это следует из того, что диагонали перпендикулярны). Подставим это равенство:
$4R^2 = 2(a+b)^2 — 4bc$
$4R^2 = 2(a^2 + 2ab + b^2) — 4bc$
$4R^2 = 2a^2 + 4ab + 2b^2 — 4bc$
$4R^2 = 2a^2 — 2ab + 2b^2 + 2bc$
$4R^2 = 2(a^2 — ab + b^2 + bc)$
$4R^2 = 2((a-b)^2 + (b+c)^2)$
$2R^2 = (a-b)^2 + (b+c)^2$
Это и есть искомое равенство.
