Вопрос школьника
Докажите, что если для сторон треугольника выполняется равенство (b + с + а)(b + с — а) = 3be, то угол А, лежащий против стороны а, равен 60°.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что равенство (b + с + а)(b + с — а) = 3be можно переписать в виде:
(b + c)^2 — a^2 = 3be
Теперь воспользуемся законом косинусов для треугольника ABC:
a^2 = b^2 + c^2 — 2bc*cos(A)
Подставим это выражение в предыдущее равенство:
(b + c)^2 — (b^2 + c^2 — 2bc*cos(A)) = 3be
Раскроем скобки и упростим:
4bc*cos(A) = b^2 + c^2 — 3be
Теперь заметим, что правая часть этого равенства является положительной, так как b, c и e — длины сторон треугольника, а значит, их квадраты также положительны. Значит, и левая часть должна быть положительной, что возможно только если cos(A) > 0.
Но если cos(A) > 0, то угол A лежит в первой четверти (0° < A < 90°), а значит, он не может быть равен 60°. Значит, исходное утверждение неверно. Таким образом, мы доказали, что если для сторон треугольника выполняется равенство (b + с + а)(b + с - а) = 3be, то угол А, лежащий против стороны а, не обязательно равен 60°.
