Вопрос школьника
Докажите, что если две окружности пересекаются, то расстояние между их центрами меньше суммы радиусов и больше разности радиусов.
Ответ от учителя
Пусть даны две окружности с центрами O1 и O2 и радиусами r1 и r2 соответственно. Предположим, что эти окружности пересекаются.
Тогда возможны два случая:
1. Одна окружность целиком содержится внутри другой. В этом случае расстояние между центрами окружностей будет равно разности их радиусов: |r1 — r2|.
2. Окружности пересекаются, но не содержат друг друга. В этом случае расстояние между центрами окружностей будет меньше суммы их радиусов: |r1 + r2|.
Для доказательства этого факта рассмотрим треугольник O1O2P, где P — точка пересечения окружностей. По теореме косинусов:
O1P^2 = r1^2 + OP^2 — 2r1OPcos(∠O1OP)
O2P^2 = r2^2 + OP^2 — 2r2OPcos(∠O2OP)
Сложим эти два уравнения:
O1P^2 + O2P^2 = r1^2 + r2^2 + 2OP^2 — 2r1OPcos(∠O1OP) — 2r2OPcos(∠O2OP)
Заметим, что cos(∠O1OP) и cos(∠O2OP) имеют значения от -1 до 1, поэтому их произведение не превышает по модулю 1:
|cos(∠O1OP)cos(∠O2OP)| <= 1 Тогда: 2r1OPcos(∠O1OP) + 2r2OPcos(∠O2OP) <= 2(r1 + r2)OP Подставим это в исходное уравнение: O1P^2 + O2P^2 <= r1^2 + r2^2 + 2(r1 + r2)OP + 2OP^2 - 2(r1 + r2)OP O1P^2 + O2P^2 <= (r1 + r2)^2 + OP^2 Таким образом, получаем неравенство: O1P^2 + O2P^2 <= (r1 + r2)^2 Отсюда следует, что: sqrt(O1P^2 + O2P^2) <= r1 + r2 То есть расстояние между центрами окружностей меньше суммы их радиусов. Аналогично можно доказать, что расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов.
