Вопрос школьника
Докажите, что если катет и высота, опущенная на гипотенузу, одного прямоугольного треугольника равны соответственно катету и высоте, опущенной на гипотенузу, другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольных треугольников. Пусть у нас есть два прямоугольных треугольника ABC и A’B’C’, где AB и A’B’ — катеты, а AC и A’C’ — гипотенузы. Пусть также h и h’ — высоты, опущенные на гипотенузы AC и A’C’ соответственно.
Тогда по теореме Пифагора для треугольника ABC имеем:
AB^2 + h^2 = AC^2
Аналогично, для треугольника A’B’C’ получаем:
A’B’^2 + h’^2 = A’C’^2
Так как по условию h = h’, то можно записать:
AB^2 + h^2 = A’B’^2 + h’^2
Заметим, что из этого равенства следует, что AB^2 — A’B’^2 = h’^2 — h^2. Далее, применим формулу разности квадратов:
(AB + A’B’)(AB — A’B’) = (h’ + h)(h’ — h)
Так как h = h’, то можно записать:
(AB + A’B’)(AB — A’B’) = 0
Отсюда следует, что либо AB = A’B’, либо AB = -A’B’. Очевидно, что AB не может быть отрицательным, поэтому AB = A’B’. Аналогично, из теоремы Пифагора для треугольников ABC и A’B’C’ можно получить, что AC = A’C’. Таким образом, треугольники ABC и A’B’C’ равны по двум сторонам и углу между ними, то есть они равны.
