Вопрос школьника
Докажите, что если концы отрезка равноудалены от прямой, пересекающей отрезок, то эта прямая проходит через середину отрезка.
Ответ от учителя
Пусть дан отрезок AB и прямая l, пересекающая его в точке C. Предположим, что концы отрезка AB равноудалены от прямой l. Тогда расстояние от точки A до прямой l равно расстоянию от точки B до прямой l. Обозначим это расстояние через d.
Так как точка C лежит на прямой l, то расстояние от точки A до точки C и расстояние от точки B до точки C должны быть равны. Обозначим это расстояние через x.
Тогда, по определению, точка C лежит на середине отрезка AB, если x = d/2.
Докажем, что x = d/2. Рассмотрим треугольник ABC. Так как точка C лежит на прямой l, то отрезок AC и отрезок BC являются перпендикулярами к прямой l. Также из условия задачи следует, что отрезок AB параллелен прямой l.
Тогда треугольник ABC является прямоугольным, и мы можем применить теорему Пифагора:
AC^2 + BC^2 = AB^2
Так как отрезок AB параллелен прямой l, то расстояние от точки A до прямой l равно расстоянию от точки B до прямой l, то есть d. Также, так как точка C лежит на прямой l, то расстояние от точки A до точки C равно расстоянию от точки B до точки C, то есть x. Тогда мы можем переписать уравнение выше в следующем виде:
x^2 + (d-x)^2 = AB^2
Раскроем скобки и упростим:
2x^2 — 2dx + d^2 = AB^2
Так как точка C лежит на прямой l, то отрезок AC и отрезок BC являются перпендикулярами к прямой l. Тогда ACB является прямым углом, и мы можем применить теорему о средних линиях:
AB^2 = 2AC^2 + 2BC^2
Так как AC и BC являются перпендикулярами к прямой l, то AC = BC = x. Тогда мы можем переписать уравнение выше в следующем виде:
AB^2 = 4x^2
Подставим это выражение в уравнение, которое мы получили ранее:
2x^2 — 2dx + d^2 = 4x^2
2x^2 — 2dx + d^2 — 4x^2 = 0
-2x^2 — 2dx + d^2 = 0
2x^2 + 2dx — d^2 = 0
Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно x:
x = (-2d ± √(4d^2 — 4*(-2d)*(-d^2))) / (2*2)
x = (-2d ± √(4d^2 + 8d^2)) / 4
x = (-2d ± 2d√3) / 4
x = d/2 ± d√3/4
Таким образом, мы получили два возможных значения для x. Одно из них равно d/2, а другое не равно d/2. Однако мы предположили, что концы отрезка AB равноудалены от прямой l, то есть x должно быть равно d/2. Таким образом, единственным возможным решением является x = d/2.
Значит, точка C лежит на середине отрезка AB, и прямая l проходит через середину отрезка.
