Вопрос школьника
Докажите, что если квадрат натурального числа, не кратного 3, уменьшить на 1, то в результате получится число, кратное 3.
Ответ от учителя
Пусть дано натуральное число $n$, не кратное 3, и $n^2$ — его квадрат. Тогда $n$ может быть представлено в виде $n = 3k + r$, где $k$ — некоторое натуральное число, а $r$ — остаток от деления $n$ на 3, причем $r$ может быть равен 1 или 2.
Тогда $n^2 = (3k + r)^2 = 9k^2 + 6kr + r^2$. Рассмотрим три случая:
1. Если $r = 1$, то $n^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$. Таким образом, $n^2 — 1$ будет иметь вид $3m + 2$, где $m = 3k^2 + 2k$. Очевидно, что $3m + 2$ не кратно 3.
2. Если $r = 2$, то $n^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$. Таким образом, $n^2 — 1$ будет иметь вид $3m$, где $m = 3k^2 + 4k + 1$. Очевидно, что $3m$ кратно 3.
Таким образом, мы доказали, что если квадрат натурального числа, не кратного 3, уменьшить на 1, то в результате получится число, кратное 3.
