Вопрос школьника
Докажите, что если один из трёх лучей ОМ, ОА и ОВ расположен внутри угла, образованного двумя другими лучами, то угол между биссектрисами углов МОА и MOB равен половине угла АО В.
Ответ от учителя
Для начала, обозначим угол МОА как α, угол MOB как β и угол АОВ как γ. Также обозначим точку пересечения биссектрис углов МОА и MOB как точку К.
Так как луч ОМ находится внутри угла АОВ, то угол α и угол β являются острыми углами. Также известно, что угол МОК является биссектрисой угла α, а угол МОК является биссектрисой угла β.
Теперь рассмотрим треугольник АОВ. Известно, что угол АОВ равен сумме углов α и β, так как луч ОМ является биссектрисой угла АОВ. Таким образом, мы можем записать:
γ = α + β
Теперь рассмотрим треугольник МОК. Известно, что угол МОК является биссектрисой угла α, а угол МОК является биссектрисой угла β. Таким образом, мы можем записать:
α/2 = КМ/МО
β/2 = КМ/МО
Так как КМ является общей стороной для треугольников МОК и АОК, то мы можем записать:
КМ/МО = АК/ОА
Кроме того, мы можем записать:
КМ/МО = ВК/ОВ
Таким образом, мы получаем:
АК/ОА = ВК/ОВ
Переставляя члены, получаем:
АК/ВК = ОА/ОВ
Так как угол АОВ является острым углом, то ОА/ОВ < 1. Таким образом, мы можем записать: АК/ВК < 1 Из этого следует, что угол МОК является острым углом, так как К находится между О и М. Таким образом, мы можем записать: α + β = 2КМО < 2МОК Делим обе части на 2 и получаем: (α + β)/2 < МОК Но мы знаем, что угол АОВ равен сумме углов α и β. Таким образом, мы можем записать: γ/2 < МОК Но мы также знаем, что γ = α + β. Таким образом, мы можем записать: γ/2 = (α + β)/2 Из этого следует, что: (α + β)/2 = МОК = γ/2 Таким образом, угол между биссектрисами углов МОА и MOB равен половине угла АОВ.
