Вопрос школьника
Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность (т. е., если существует окружность, содержащая все его вершины), то этот параллелограмм является прямоугольником.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами параллелограмма и окружности.
Пусть дан параллелограмм ABCD, около которого можно описать окружность с центром O. Тогда, по определению, все вершины параллелограмма лежат на этой окружности.
Рассмотрим диагонали параллелограмма AC и BD. Они делят параллелограмм на четыре треугольника: AOB, BOC, COD и DOA.
Так как точка O является центром описанной окружности, то радиус окружности равен расстоянию от центра до любой вершины. Значит, OA = OC и OB = OD.
Также, по свойству параллелограмма, диагонали делятся пополам. Значит, AC = BD.
Рассмотрим теперь треугольник AOB. Он является равнобедренным, так как OA = OB. Значит, угол AOB равен 90 градусам.
Аналогично, рассмотрев треугольники BOC, COD и DOA, мы можем убедиться, что все углы параллелограмма равны 90 градусам.
Таким образом, мы доказали, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм является прямоугольником.
