Вопрос школьника
Докажите, что если остаток при делении натурального числа на 16 равен 4, то квадрат этого числа делится надела на 16
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся определением остатка от деления и свойствами четности.
Пусть дано натуральное число $n$, остаток при делении которого на 16 равен 4, т.е. $n equiv 4 pmod{16}$.
Тогда по определению остатка существует такое целое число $k$, что $n = 16k + 4$.
Возведем это выражение в квадрат:
$n^2 = (16k + 4)^2 = 256k^2 + 128k + 16$
Заметим, что каждый из трех слагаемых в правой части делится на 16, т.е. $256k^2 + 128k + 16 equiv 0 pmod{16}$.
Следовательно, $n^2 equiv 0 pmod{16}$, что и означает, что квадрат числа $n$ делится на 16.
Таким образом, мы доказали, что если остаток при делении натурального числа на 16 равен 4, то квадрат этого числа делится на 16.
