Вопрос школьника
Докажите, что если отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, разделяет треугольник на два равновеликих треугольника, то этот отрезок — медиана треугольника.
Ответ от учителя
Для начала, давайте вспомним, что такое медиана треугольника. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. То есть, если мы обозначим вершины треугольника как A, B и C, а точку, противоположную стороне AB, как D, то медиана из вершины A будет проходить через середину стороны BC.
Теперь предположим, что отрезок AD действительно разделяет треугольник ABC на два равновеликих треугольника. Обозначим точку пересечения медианы из вершины A с стороной BC как M.
Так как треугольник ABC разделен на два равновеликих треугольника, то мы можем сказать, что площадь треугольника ABD равна площади треугольника ACD. Обозначим эти площади как S1 и S2 соответственно.
Так как точка M является серединой стороны BC, то мы можем сказать, что площадь треугольника ABC равна S1 + S2 + S3, где S3 — это площадь треугольника AMB.
Так как отрезок AD является высотой треугольника ABD, то мы можем записать S1 как (AB * AD) / 2.
Аналогично, так как отрезок AD является высотой треугольника ACD, то мы можем записать S2 как (AC * AD) / 2.
Так как точка M является серединой стороны BC, то мы можем записать S3 как (BC * AM) / 2.
Теперь мы можем записать уравнение для площади треугольника ABC:
S1 + S2 + S3 = (AB * AD) / 2 + (AC * AD) / 2 + (BC * AM) / 2
Так как мы предположили, что треугольник ABC разделен на два равновеликих треугольника, то мы можем записать уравнение для площади треугольника ABD:
S1 = S2
Таким образом, мы можем записать уравнение:
(AB * AD) / 2 = (AC * AD) / 2
Упрощая это уравнение, мы получаем:
AB = AC
То есть, стороны треугольника AB и AC равны друг другу. Это означает, что треугольник ABC является равнобедренным.
Таким образом, мы доказали, что если отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, разделяет треугольник на два равновеликих треугольника, то этот отрезок является медианой треугольника.
