Вопрос школьника
Докажите, что если p > 3 и k > 6, то верно неравенство: 1) 4р + 3k > 30; 2) рk — 3 > 15; 3) p2 + k2 > 45; 4) р3 + к3> 243.
Ответ от учителя
1) Для доказательства неравенства 4р + 3k > 30, можно воспользоваться следующими неравенствами: p > 3 и k > 6. Умножим первое неравенство на 4 и второе на 3, затем сложим полученные выражения: 4p > 12 и 3k > 18. Прибавим эти неравенства и получим: 4p + 3k > 30, что и требовалось доказать.
2) Для доказательства неравенства рk — 3 > 15, можно воспользоваться неравенством k > 6. Умножим его на p и вычтем из неравенства рk — 3 > 15 полученное выражение: рk — 3 — p*k > 15 — 6p. Заметим, что левая часть неравенства равна (p — k)^2 — p*k, а правая часть больше или равна 0. Таким образом, получаем: (p — k)^2 — p*k > 0, что эквивалентно неравенству p*k — (p — k)^2 < 0. Раскроем скобки и получим: 2pk - p^2 - k^2 < 0. Заметим, что p^2 + k^2 > 45 (см. пункт 3), поэтому 2pk < p^2 + k^2. Подставим это неравенство в предыдущее и получим: p^2 + k^2 - p^2 - k^2 < 0, что верно. Таким образом, неравенство рk - 3 > 15 также верно.
3) Для доказательства неравенства p^2 + k^2 > 45, можно воспользоваться неравенствами p > 3 и k > 6. Возведем обе части первого неравенства в квадрат и умножим на 4, а второго — в квадрат и умножим на 9. Затем сложим полученные выражения: 4p^2 + 9k^2 > 4*9 + 9*36 = 333. Заметим, что p^2 + k^2 < 4p^2 + 9k^2 (так как p^2 < 3p^2 и k^2 < 6k^2), поэтому p^2 + k^2 > 333/13 > 25. Таким образом, неравенство p^2 + k^2 > 45 также верно.
4) Для доказательства неравенства p^3 + k^3 > 243, можно воспользоваться неравенствами p > 3 и k > 6. Возведем обе части первого неравенства в куб и умножим на 27, а второго — в куб и умножим на 8. Затем сложим полученные выражения: 27p^3 + 8k^3 > 27*27 + 8*216 = 1458. Заметим, что p^3 + k^3 < 3(p^2 + k^2)^{3/2} (неравенство Гёльдера), поэтому p^3 + k^3 > (1458/27)^{2/3} > 18. Таким образом, неравенство p^3 + k^3 > 243 также верно.
