Вопрос школьника
Докажите, что если прямые АВ, ВС и АС касаются одной окружности с центром внутри треугольника ABC, то отрезки касательных от вершин А, В и С до точек касания равны соответственно р — а, р — b и р — с
Ответ от учителя
Для начала, обозначим точку центра окружности как O. Также, обозначим точки касания прямых АВ, ВС и АС с окружностью как D, E и F соответственно.
Так как прямые АВ, ВС и АС являются касательными к окружности, то они перпендикулярны радиусам, проведенным в точки касания. Таким образом, OD ⊥ AD, OE ⊥ BE и OF ⊥ CF.
Также, так как O является центром окружности, то OD = OE = OF = r, где r — радиус окружности.
Рассмотрим треугольник AOD. Он является прямоугольным, так как OD ⊥ AD. Также, мы знаем, что OD = r. Из этого следует, что AD = р — r = р — а.
Аналогично, рассмотрим треугольники BOE и COF. Из них следует, что BE = р — b и CF = р — с.
Таким образом, мы доказали, что отрезки касательных от вершин А, В и С до точек касания равны соответственно р — а, р — b и р — с.
