Вопрос школьника
Докажите, что если прямые, содержащие основания трапеции, касаются окружности, то прямая, проходящая через середины боковых сторон трапеции, проходит через центр этой окружности.
Ответ от учителя
Пусть дана трапеция ABCD, вписанная в окружность с центром O. Пусть прямые AB и CD касаются окружности в точках E и F соответственно.
Так как AB и CD являются касательными к окружности, то AE = BE и CF = DF. Пусть M и N — середины боковых сторон AD и BC соответственно.
Так как AM = MD и BN = NC, то AM + BN = MD + NC. Но MD + NC = MC, так как MD и NC — это половины диагоналей трапеции, которые равны между собой. Следовательно, AM + BN = MC.
Таким образом, точка MNB является серединой дуги BC, не содержащей точки A, и серединой дуги AD, не содержащей точки C. Следовательно, точка MNB лежит на пересечении перпендикуляров, опущенных из точек E и F на прямую MN.
Так как точка MNB лежит на пересечении перпендикуляров, опущенных из точек E и F на прямую MN, то она является центром окружности, описанной около трапеции ABCD.
