Вопрос школьника
Докажите, что если середина отрезка, соединяющего середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, совпадает с точкой пересечения диагоналей, то данный четырёхугольник является параллелограммом.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойством параллелограмма, которое гласит: противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны.
Пусть дан выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором точка M — середина отрезка, соединяющего середины противоположных сторон AB и CD, совпадает с точкой пересечения диагоналей AC и BD.
Так как M — середина отрезка AB, то AM = MB. Аналогично, MC = MD. Так как точка M является точкой пересечения диагоналей, то AM и MC пересекаются в точке M, а BM и MD пересекаются в этой же точке. Значит, AM и MC делят диагональ AC пополам, а BM и MD делят диагональ BD пополам.
Таким образом, получаем, что AM = MC и BM = MD. Но это означает, что противоположные стороны AB и CD равны, а также параллельны (так как AM и MC лежат на одной прямой, а BM и MD лежат на другой параллельной прямой). Аналогично, противоположные стороны AD и BC также равны и параллельны.
Таким образом, мы доказали, что если середина отрезка, соединяющего середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, совпадает с точкой пересечения диагоналей, то данный четырёхугольник является параллелограммом.
