Вопрос школьника
Докажите, что если середины двух отрезков MN и PQ, расположенных на одной прямой, совпадают, то отрезки МР и NQ равны.
Ответ от учителя
Пусть M и N — концы отрезка MN, а P и Q — концы отрезка PQ. Также пусть точка X — середина отрезка MN и PQ, то есть MX = NX и PX = QX.
Рассмотрим треугольники MPX и NQX. Они имеют общий угол при вершине X и два равных угла при M и N (или P и Q), так как углы при вершинах треугольников равны 180 градусам. Таким образом, треугольники MPX и NQX подобны.
По определению подобных треугольников соответствующие стороны пропорциональны. То есть:
MP / NQ = PX / QX
Но так как PX = QX (по условию), то MP = NQ. Таким образом, отрезки МР и NQ равны.
