Вопрос школьника
Докажите, что если стороны пятиугольника равны в порядке обхода соответственно 4, 6, 8, 7 и 9, то его стороны не могут касаться одной окружности.
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим случай, когда стороны пятиугольника равны в порядке обхода соответственно 4, 6, 8, 7 и 9 и они могут касаться одной окружности. Тогда, по определению, все вершины пятиугольника лежат на этой окружности.
Пусть радиус этой окружности равен R. Тогда, по теореме синусов, для любой стороны a пятиугольника с центром в этой окружности, смежной с углом α, выполняется следующее равенство:
a = 2Rsin(α/2)
Так как стороны пятиугольника равны 4, 6, 8, 7 и 9, то мы можем записать следующие уравнения:
4 = 2Rsin(α1/2)
6 = 2Rsin(α2/2)
8 = 2Rsin(α3/2)
7 = 2Rsin(α4/2)
9 = 2Rsin(α5/2)
Разделим каждое уравнение на 2R и возведем в квадрат:
sin^2(α1/2) = 1/4
sin^2(α2/2) = 9/16
sin^2(α3/2) = 1
sin^2(α4/2) = 9/16
sin^2(α5/2) = 81/100
Заметим, что сумма всех пяти углов пятиугольника равна 540 градусам. Тогда, по формуле для суммы углов многоугольника, мы можем записать следующее уравнение:
α1/2 + α2/2 + α3/2 + α4/2 + α5/2 = 540/5 = 108
Так как sin(α/2) не может быть больше 1, то из уравнений выше следует, что α3/2 = 90 градусов. Тогда, из уравнений для sin(α1/2) и sin(α4/2) следует, что α1/2 = α4/2 = 60 градусов.
Теперь рассмотрим треугольник, образованный сторонами 4, 6 и 8. Из уравнений для sin(α1/2), sin(α2/2) и sin(α3/2) следует, что этот треугольник является прямоугольным с прямым углом при вершине, лежащей на стороне 8. Тогда, по теореме Пифагора, мы можем записать следующее уравнение:
4^2 + 6^2 = 8^2
Однако, это уравнение не выполняется, что противоречит нашему предположению о том, что стороны пятиугольника могут касаться одной окружности. Следовательно, наше предположение было неверным, и стороны пятиугольника, равные в порядке обхода соответственно 4, 6, 8, 7 и 9, не могут касаться одной окружности.
