Вопрос школьника
Докажите, что если сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна половине его периметра, то этот четырехугольник — параллелограмм
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойством параллелограмма, которое гласит: «Сумма длин двух противоположных сторон параллелограмма равна его периметру».
Пусть дан выпуклый четырехугольник ABCD, у которого сумма расстояний между серединами противоположных сторон равна половине его периметра. Обозначим точки пересечения диагоналей как точку М.
Так как М — середина стороны AB, то AM = MB. Аналогично, MD = MC, BM = CD и AM = DC.
Тогда сумма расстояний между серединами противоположных сторон равна:
AM + MC + BM + CD = AM + MD + BM + DC = AB + CD
Таким образом, получаем, что AB + CD = 2(AM + MC + BM + CD)/2, то есть AB + CD = AM + MC + BM + CD.
Сокращая на CD, получаем AB/CD = AM/MC + BM/CD + 1.
Аналогично, из того, что BM = CD — AM и AM = DC — BM, получаем AB/CD = DC/MC + BM/CD + 1.
Следовательно, DC/MC + BM/CD + 1 = AM/MC + BM/CD + 1, откуда DC/MC = AM/MC и DC = AM.
Таким образом, получаем, что стороны AB и CD равны, а стороны AD и BC также равны, так как BM = CD — AM и AM = DC — BM.
Значит, четырехугольник ABCD является параллелограммом, так как противоположные стороны равны и параллельны. Доказательство завершено.
