Вопрос школьника
Докажите, что если сумма трех простых чисел больше 3 кратна 3, то все попарные разности этих чисел кратны шести.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что любое простое число, кроме 2 и 3, имеет остаток 1 или 5 при делении на 6. Это можно легко проверить, перебрав все возможные остатки.
Теперь предположим, что у нас есть три простых числа p, q и r, сумма которых больше 3 кратна 3. То есть:
p + q + r ≡ 0 (mod 3)
Мы хотим доказать, что все попарные разности этих чисел кратны шести. Рассмотрим разность p — q. Если она кратна шести, то доказательство будет завершено, так как аналогичное рассуждение можно применить к другим попарным разностям.
Если p — q не кратно шести, то оно имеет остаток 1 или 5 при делении на 6. Так как p и q простые числа, то они не могут иметь одинаковый остаток при делении на 6. Значит, p — q имеет остаток 1 или 5, а q — r имеет остаток 5 или 1 (в зависимости от того, какие остатки имеют p и r).
Теперь рассмотрим сумму всех попарных разностей:
(p — q) + (q — r) + (r — p) = 0
Заметим, что каждое слагаемое имеет остаток 1 или 5 при делении на 6. Значит, сумма имеет остаток 0 или 3 при делении на 6. Но мы знаем, что сумма p + q + r кратна 3, а значит имеет остаток 0 при делении на 3. Значит, сумма всех попарных разностей также кратна 3.
Но мы уже показали, что если хотя бы одна из попарных разностей не кратна шести, то сумма всех попарных разностей не кратна шести. Значит, все попарные разности должны быть кратны шести. Доказательство завершено.
