Вопрос школьника
Докажите, что если сумма углов, прилежащих к каждой из сторон выпуклого четырехугольника, не превосходит 180º, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами параллелограмма.
Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны по длине, а также у которого противоположные углы равны.
Пусть у нас есть выпуклый четырехугольник ABCD, у которого сумма углов, прилежащих к каждой из сторон, не превосходит 180º. Обозначим эти углы как α, β, γ и δ, соответственно.
Так как сумма углов в четырехугольнике равна 360º, то:
α + β + γ + δ = 360º
Также из условия задачи следует, что:
α + β ≤ 180º
β + γ ≤ 180º
γ + δ ≤ 180º
δ + α ≤ 180º
Сложим все эти неравенства и получим:
2(α + β + γ + δ) ≤ 720º
Из этого следует, что:
α + β + γ + δ ≤ 360º
Таким образом, мы получили, что сумма углов четырехугольника не превосходит 360º.
Теперь рассмотрим две пары противоположных углов: углы A и C, углы B и D.
Так как сумма углов, прилежащих к каждой из сторон, не превосходит 180º, то:
α + γ ≤ 180º
β + δ ≤ 180º
Сложим эти неравенства и получим:
(α + β) + (γ + δ) ≤ 360º
Но мы знаем, что α + β + γ + δ = 360º, поэтому:
(α + β) + (γ + δ) = 360º
Это означает, что углы A и C, а также углы B и D, являются смежными и дополнительными. То есть:
∠A + ∠C = 180º
∠B + ∠D = 180º
Таким образом, мы доказали, что углы противоположных вершин четырехугольника равны и дополнительны, что является свойством параллелограмма.
Также из условия задачи следует, что стороны четырехугольника имеют равные длины, так как сумма углов, прилежащих к каждой из сторон, не превосходит 180º. Это также является свойством параллелограмма.
Таким образом, мы доказали, что если сумма углов, прилежащих к каждой из сторон выпуклого четырехугольника, не превосходит 180º, то этот четырехугольник является параллелограммом.
