Вопрос школьника
Докажите, что если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность.
Ответ от учителя
Для доказательства этого утверждения воспользуемся теоремой Браунера-Штейнера, которая гласит: «Если в выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то его можно вписать в окружность».
Для начала рассмотрим четырехугольник ABCD, у которого суммы противоположных сторон равны: AB + CD = BC + AD. Проведем диагонали AC и BD, которые пересекутся в точке O.
Так как суммы противоположных сторон равны, то можно записать следующие равенства:
AB + CD = BC + AD
AB + BC = AD + CD
Сложим эти равенства и получим:
2(AB + BC + CD + AD) = 2(AC + BD)
Делим обе части на 2 и получаем:
AB + BC + CD + AD = AC + BD
Это означает, что точка O лежит на пересечении биссектрис углов A и C, а также B и D. То есть, точка O является центром вписанной окружности четырехугольника ABCD.
Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD можно вписать в окружность, нужно показать, что все четыре стороны являются хордами этой окружности. Для этого достаточно показать, что углы при основаниях равнобедренных треугольников AOB, BOC, COD и DOA равны между собой.
Например, угол AOB равен сумме углов AOC и BOC, так как они дополняют друг друга до 180 градусов. А углы AOC и BOC равны, так как точка O является центром вписанной окружности. Аналогично можно доказать равенство углов при основаниях остальных треугольников.
Таким образом, мы доказали, что если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
