Вопрос школьника
Докажите, что если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит серединному перпендикуляру этого отрезка.
Ответ от учителя
Пусть дан отрезок AB и точка M, которая равноудалена от его концов. Нам нужно доказать, что точка M принадлежит серединному перпендикуляру этого отрезка.
Для начала, по определению, равноудаленные точки от двух других точек находятся на перпендикулярной прямой, проходящей через середину этого отрезка. Таким образом, точка M находится на перпендикулярной прямой, проходящей через середину отрезка AB.
Далее, нам нужно доказать, что точка M также находится на серединном перпендикуляре AB. Для этого мы можем использовать теорему о трех перпендикулярах.
Согласно этой теореме, если мы проведем перпендикуляры из точки M к концам отрезка AB, то они будут пересекаться на серединном перпендикуляре AB. Таким образом, мы можем провести перпендикуляры MC и MD к концам отрезка AB, где C и D — это точки пересечения перпендикуляров с отрезком AB.
Так как точка M равноудалена от точек A и B, то MC = MD. Кроме того, мы знаем, что угол MCD = MDC = 90 градусов, так как это перпендикуляры. Следовательно, треугольник MCD равнобедренный, и MC = MD = CD/2.
Но CD — это длина отрезка AB, разделенная пополам, то есть CD/2 — это расстояние от точки M до середины отрезка AB. Таким образом, мы доказали, что точка M находится на серединном перпендикуляре AB.
Итак, мы доказали, что если точка равноудалена от концов отрезка, то она принадлежит серединному перпендикуляру этого отрезка.
