Вопрос школьника
Докажите, что если точка С лежит внутри прямого или тупого угла, то на сторонах угла не существует точек А и В, для которых периметр треугольника ABC был бы наименьшим.
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим случай, когда точка С лежит внутри прямого угла. Пусть угол ABC — прямой угол, а точка С лежит внутри него. Тогда, чтобы построить треугольник ABC с наименьшим периметром, точки А и В должны лежать на сторонах угла. Предположим, что точки А и В лежат внутри угла ABC. Тогда, чтобы получить наименьший периметр, мы должны выбрать точки А и В так, чтобы сумма длин отрезков AC и BC была минимальной. Однако, если мы выберем точки А и В на сторонах угла, то сумма длин отрезков AC и BC будет меньше, чем если мы выберем точки А и В внутри угла. Поэтому, наименьший периметр треугольника ABC не может быть достигнут, если точки А и В лежат внутри угла.
Теперь рассмотрим случай, когда точка С лежит внутри тупого угла. Пусть угол ABC — тупой угол, а точка С лежит внутри него. Тогда, чтобы построить треугольник ABC с наименьшим периметром, точки А и В должны лежать на сторонах угла. Предположим, что точки А и В лежат внутри угла ABC. Тогда, чтобы получить наименьший периметр, мы должны выбрать точки А и В так, чтобы сумма длин отрезков AC и BC была минимальной. Однако, если мы выберем точки А и В на сторонах угла, то сумма длин отрезков AC и BC будет меньше, чем если мы выберем точки А и В внутри угла. Поэтому, наименьший периметр треугольника ABC не может быть достигнут, если точки А и В лежат внутри угла.
Таким образом, мы доказали, что если точка С лежит внутри прямого или тупого угла, то на сторонах угла не существует точек А и В, для которых периметр треугольника ABC был бы наименьшим.
