Вопрос школьника
Докажите, что если у четырёхугольника противоположные стороны попарно равны, то точка пересечения его диагоналей является центром симметрии четырёхугольника.
Ответ от учителя
Для доказательства этого утверждения рассмотрим четырёхугольник ABCD, у которого AB=CD и BC=AD. Проведём его диагонали AC и BD, которые пересекаются в точке O.
Так как AB=CD и BC=AD, то у нас есть две пары равных треугольников: ABC и CDA, а также ABD и BCD. Это означает, что углы ABC и CDA равны между собой, а также углы ABD и BCD равны между собой.
Теперь рассмотрим отражение четырёхугольника ABCD относительно точки O. При этом каждая точка четырёхугольника будет отражена относительно O на такое же расстояние, какое она находится от O. Таким образом, мы получим новый четырёхугольник A’B’C’D’, который будет подобен исходному четырёхугольнику ABCD.
Действительно, углы A’BC и C’DA будут равны между собой, так как они будут соответствовать углам ABC и CDA. Аналогично, углы A’BD и C’DB будут равны между собой, так как они будут соответствовать углам ABD и BCD. Таким образом, мы получили подобные четырёхугольники ABCD и A’B’C’D’.
Так как мы отразили четырёхугольник ABCD относительно точки O, то точка O является его центром симметрии. Действительно, если мы отразим любую точку четырёхугольника ABCD относительно точки O, то мы получим точку, которая лежит на противоположной стороне четырёхугольника и на том же расстоянии от O, что и исходная точка.
Таким образом, мы доказали, что если у четырёхугольника противоположные стороны попарно равны, то точка пересечения его диагоналей является центром симметрии четырёхугольника.
