Вопрос школьника
Ответь развернуто и подробно на вопрос — Докажите, что если углы выпуклого шестиугольника равны, то его стороны образуют три пары параллельных сторон.
Ответ от учителя
Пусть углы выпуклого шестиугольника равны. Обозначим эти углы через $alpha$. Так как сумма углов в шестиугольнике равна $720^circ$, то каждый угол равен $120^circ$.
Рассмотрим две соседние стороны шестиугольника $AB$ и $BC$. Пусть $D$ и $E$ – точки на продолжениях сторон $AB$ и $BC$ соответственно, такие что $BD = CE$. Так как углы $ABC$ и $BCD$ равны, то треугольники $ABC$ и $BCD$ подобны. Аналогично, треугольники $BCD$ и $CDE$ подобны. Значит, треугольники $ABC$ и $CDE$ подобны.
Отсюда следует, что $angle ABD = angle CBE$ и $angle BCD = angle DCE$. Так как углы $ABC$ и $BCD$ равны, то $angle ABD = angle BCD$. Значит, $angle CBE = angle DCE$. Таким образом, мы получили, что углы $ABD$ и $BCE$ равны.
Аналогично можно доказать, что углы $CDE$ и $DEA$ равны, а углы $DEA$ и $EAF$ равны. Значит, все углы треугольников $ABD$, $BCE$, $CDE$, $DEA$ и $EAF$ равны между собой.
Таким образом, мы получили, что стороны $AB$ и $CD$, $BC$ и $DE$, $CD$ и $EF$ являются парами параллельных сторон. Значит, стороны шестиугольника образуют три пары параллельных сторон.
