Вопрос школьника
Докажите, что если в многоугольнике все стороны равны между собой, то сумма расстояний от произвольной точки, лежащей внутри многоугольника, до его сторон есть величина постоянная.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения рассмотрим произвольный многоугольник со сторонами равными между собой и произвольную точку $P$, лежащую внутри этого многоугольника.
Проведем из точки $P$ перпендикуляры к каждой из сторон многоугольника. Обозначим длины этих перпендикуляров через $h_1, h_2, …, h_n$, где $n$ — количество сторон многоугольника.
Так как все стороны многоугольника равны между собой, то все перпендикуляры также равны между собой. Обозначим эту длину через $h$.
Тогда сумма расстояний от точки $P$ до сторон многоугольника будет равна $h_1 + h_2 + … + h_n = nh$.
Таким образом, мы доказали, что сумма расстояний от произвольной точки, лежащей внутри многоугольника, до его сторон есть величина постоянная и равна $nh$, где $n$ — количество сторон многоугольника, а $h$ — длина перпендикуляра, опущенного из точки $P$ на любую из сторон многоугольника.
