Вопрос школьника
Докажите, что если в параллелограмме ABCD углы ABC и BAC равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.
Ответ от учителя
Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойствами параллелограмма и тригонометрическими соотношениями.
Параллелограмм ABCD имеет две пары параллельных сторон AB и CD, BC и AD. Также известно, что углы ABC и BAC равны. Обозначим угол ABC (или BCD) через α.
Так как углы ABC и BAC равны, то угол BCA (или CDB) также равен α. Таким образом, треугольник ABC (или BCD) является равнобедренным, то есть AB = BC.
Теперь рассмотрим треугольник ABD. Угол ABD равен 180° — угол ABC (сумма углов параллелограмма). Также известно, что угол ADB равен 180° — угол BCA. Значит, угол ABD + угол ADB = 180° — α + 180° — α = 360° — 2α.
С другой стороны, угол BAD равен 180° — угол BAC = 180° — α. Так как угол ABD равен углу BAD (они оба равны 180° — угол ABC), то угол ADB также равен углу BDA.
Теперь применим теорему косинусов к треугольнику ABD:
AB² + AD² — 2AB·AD·cos(ADB) = BD²
Так как AB = BC и угол ADB равен углу BDA, то cos(ADB) = cos(BDA). Значит, можно переписать уравнение:
2AB² — 2AB²·cos(BDA) = BD² — AD²
Так как треугольник ABD равнобедренный, то BD = AD. Значит, уравнение принимает вид:
2AB² — 2AB²·cos(BDA) = 0
Отсюда следует, что cos(BDA) = 1, то есть угол BDA равен 0°. Это означает, что точки B, D и A лежат на одной прямой.
Таким образом, мы доказали, что в параллелограмме ABCD, у которого углы ABC и BAC равны, точки B, D и A лежат на одной прямой. Значит, угол BDC равен 180°, и параллелограмм ABCD является прямоугольником.
