Вопрос школьника
Докажите, что если в пирамиде все двугранные углы при ребрах основания равны, то основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, вписанной в многоугольник, служащий основанием.
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим плоскость, проходящую через вершину пирамиды и перпендикулярную к основанию. Эта плоскость делит пирамиду на две части: вершину и трапециевидную часть, которая является проекцией основания на эту плоскость.
Так как все двугранные углы при ребрах основания равны, то трапециевидная часть пирамиды является правильной трапецией. Это означает, что боковые ребра пирамиды равны между собой, а также что основания трапеции равны.
Теперь рассмотрим вписанную в основание многоугольник окружность. По определению, центр этой окружности является точкой пересечения перпендикуляров, опущенных из середин каждого ребра многоугольника.
Так как основание пирамиды является правильной трапецией, то середины боковых ребер находятся на одинаковом расстоянии от оснований трапеции. Это означает, что перпендикуляры, опущенные из этих середин, пересекаются в одной точке — центре окружности, вписанной в многоугольник.
Таким образом, мы доказали, что основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, вписанной в многоугольник, служащий основанием.
