Вопрос школьника
Докажите, что если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то он противолежит углу, равному 30◦
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся теоремой косинусов для прямоугольного треугольника:
c^2 = a^2 + b^2,
где c — гипотенуза, a и b — катеты.
Пусть катет равен половине гипотенузы, тогда a = c/2.
Также известно, что угол между гипотенузой и катетом равен 90°, а угол между гипотенузой и другим катетом равен 30°.
Применим теорему косинусов для катета:
b^2 = c^2 — a^2 = c^2 — (c/2)^2 = 3c^2/4.
Теперь рассмотрим угол между катетом и другим катетом. Обозначим его через α.
Применим теорему синусов для этого угла:
b/sin(α) = c/sin(90°) = c.
Заменим b на выражение, полученное ранее:
(3c^2/4)/sin(α) = c.
Упростим выражение:
sin(α) = 4/3.
Таким образом, мы получили, что sin(α) = 4/3, что невозможно, так как синус угла не может быть больше 1. Значит, предположение о том, что катет равен половине гипотенузы и противолежит углу, равному 30°, неверно.
Таким образом, мы доказали, что если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то он не может противолежать углу, равному 30°.
