Вопрос школьника
Докажите, что если в треугольной пирамиде сумма углов при каждой из трёх вершин равна 180°, то все её грани являются равными треугольниками.
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим угол между двумя соседними гранями пирамиды. Обозначим этот угол как $alpha$. Так как сумма углов при вершине равна 180°, то угол между любыми двумя гранями, выходящими из одной вершины, также равен $alpha$.
Теперь рассмотрим треугольник, образованный тремя вершинами пирамиды и центром основания. Обозначим углы этого треугольника как $beta_1$, $beta_2$ и $beta_3$. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то $beta_1 + beta_2 + beta_3 = 180°$.
Заметим, что каждый из углов $beta_1$, $beta_2$ и $beta_3$ является суммой двух углов $alpha$, так как каждый из этих углов соответствует углу между двумя соседними гранями, выходящими из одной вершины. Таким образом, $beta_1 = alpha + alpha$, $beta_2 = alpha + alpha$ и $beta_3 = alpha + alpha$. Подставляя эти выражения в уравнение $beta_1 + beta_2 + beta_3 = 180°$, получаем:
$2alpha + 2alpha + 2alpha = 180°$
$6alpha = 180°$
$alpha = 30°$
Таким образом, угол между любыми двумя соседними гранями пирамиды равен 30°.
Рассмотрим теперь любую грань пирамиды. Обозначим её высоту как $h$, а стороны как $a$, $b$ и $c$. Рассмотрим треугольник, образованный этой гранью и двумя соседними гранями. Обозначим углы этого треугольника как $alpha$, $beta$ и $gamma$, где $alpha$ — угол между этой гранью и одной из соседних граней, а $beta$ и $gamma$ — углы между этой гранью и двумя другими соседними гранями.
Так как угол между любыми двумя соседними гранями равен 30°, то $beta = gamma = 75°$. Также заметим, что угол между высотой грани и её основанием равен углу между этой гранью и одной из соседних граней, то есть $alpha = 30°$.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой грани, её половиной и стороной $a$. Так как угол между высотой и половиной грани равен 75°, то угол между высотой и стороной $a$ равен $90° — 75° = 15°$. Таким образом, мы получили, что высота грани делится на две части, равные $h/2$ и $h/2tan 15°$.
Аналогично можно рассмотреть треугольники, образованные гранью и двумя другими соседними гранями, и получить, что высота грани делится на две части, равные $h/2$ и $h/2tan 15°$. Таким образом, все грани пирамиды являются равными треугольниками со сторонами $a$, $b$ и $c$, и высотой $h/2tan 15°$.
Таким образом, мы доказали, что если в треугольной пирамиде сумма углов при каждой из трёх вершин равна 180°, то все её грани являются равными треугольниками.
