Вопрос школьника
Докажите, что если векторы АВ и CD равны, то середины отрезков AD и ВС совпадают. Докажите обратное утверждение: если середины отрезков AD и ВС совпадают, то АВ = CD
Ответ от учителя
Для доказательства первого утверждения рассмотрим следующую ситуацию:
Пусть векторы АВ и CD равны, то есть AB = CD. Тогда мы можем записать:
AB = AD + DB
CD = CB + BD
Так как AB = CD, то мы можем сравнить правые части этих уравнений:
AD + DB = CB + BD
Вычтем из обеих частей уравнения вектор BD:
AD + DB — BD = CB
Заметим, что левая часть этого уравнения равна вектору AD, который соединяет точки A и D, а правая часть равна вектору CB, который соединяет точки C и B. Таким образом, мы получили, что вектор AD равен вектору CB:
AD = CB
Но это означает, что точки M и N, которые являются серединами отрезков AD и BC соответственно, лежат на одной прямой, проходящей через точки A и C. Иными словами, эти точки совпадают.
Для доказательства обратного утверждения рассмотрим следующую ситуацию:
Пусть середины отрезков AD и BC совпадают, то есть точки M и N совпадают. Тогда мы можем записать:
AM = MD
BN = NC
Так как M и N совпадают, то мы можем сравнить правые части этих уравнений:
MD = NC
Вычтем из обеих частей уравнения вектор MD:
AM = NC — MD
Заметим, что левая часть этого уравнения равна вектору AB, который соединяет точки A и B, а правая часть равна разности векторов NC и MD, которые соединяют точки N и C, M и D соответственно. Таким образом, мы получили, что вектор AB равен разности векторов NC и MD:
AB = NC — MD
Но мы знаем, что MD = AM и NC = BN, поэтому мы можем переписать это уравнение следующим образом:
AB = BN — AM
Таким образом, мы получили, что вектор AB равен вектору CD, который соединяет точки C и D:
AB = CD
Таким образом, мы доказали обратное утверждение.
