Вопрос школьника
Докажите, что если векторы m иnсонаправлены, то |m + n| = |m| + |n|, a если m иn противоположно направлены, причём |m|>|n|, то |m + n| = |m|-|n|.
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим случай, когда векторы m и n сонаправлены. В этом случае, мы можем представить вектор m как сумму векторов a и b, где a — это проекция вектора m на вектор n, а b — это оставшаяся часть вектора m, перпендикулярная вектору n. Тогда, по определению, вектор n является проекцией вектора m на вектор n, умноженной на коэффициент k. Таким образом, мы можем записать:
m = a + b
n = kn
где k — это коэффициент, определяющий длину вектора n. Так как векторы m и n сонаправлены, то k > 0.
Теперь, рассмотрим длину вектора m + n:
|m + n| = |a + b + kn|
Так как векторы a и kn сонаправлены, то мы можем записать:
|a + kn| = |a| + |kn|
Также, мы можем записать:
|b + kn| = |b — kn|
Так как векторы b и kn противоположно направлены. Тогда, мы можем записать:
|m + n| = |a| + |kn| + |b — kn|
Так как векторы a и n сонаправлены, то |a| = k|n|. Также, мы можем записать:
|b — kn| = |b| — |kn|
Так как |b| > |kn|, то |b — kn| = |b| — |kn|. Таким образом, мы можем записать:
|m + n| = k|n| + |b| — |kn|
Так как k > 0, то мы можем записать:
|m + n| = |n| + |b|
Таким образом, мы доказали, что если векторы m и n сонаправлены, то |m + n| = |m| + |n|.
Теперь, рассмотрим случай, когда векторы m и n противоположно направлены, причём |m| > |n|. В этом случае, мы можем представить вектор m как сумму векторов a и b, где a — это проекция вектора m на вектор n, а b — это оставшаяся часть вектора m, перпендикулярная вектору n. Тогда, по определению, вектор n является проекцией вектора m на вектор n, умноженной на коэффициент k. Таким образом, мы можем записать:
m = a + b
n = -kn
где k — это коэффициент, определяющий длину вектора n. Так как векторы m и n противоположно направлены, то k < 0. Теперь, рассмотрим длину вектора m + n: |m + n| = |a + b - kn| Так как векторы a и kn противоположно направлены, то мы можем записать: |a - kn| = |a| - |kn| Также, мы можем записать: |b - kn| = |b| - |kn| Так как |m| > |n|, то |a| > |kn|. Таким образом, мы можем записать:
|m + n| = |a| + |b| — |kn|
Так как k < 0, то мы можем записать: |m + n| = |m| - |kn| + |b| Так как |m| > |n|, то |m| — |kn| = |m| + |n|. Таким образом, мы можем записать:
|m + n| = |m| + |n| + |b|
Таким образом, мы доказали, что если векторы m и n противоположно направлены, причём |m| > |n|, то |m + n| = |m| — |n|.
