Вопрос школьника
Докажите, что если все ребра тетраэдра равны, то все его двугранные углы также равны. Найдите эти углы
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся формулой косинусов для вычисления угла между двумя векторами:
cos(α) = (a·b) / (|a|·|b|),
где α — угол между векторами a и b, a·b — скалярное произведение векторов a и b, |a| и |b| — длины векторов a и b соответственно.
Рассмотрим два смежных треугольника тетраэдра, образованных тремя его ребрами. Пусть эти ребра имеют длины a, b и c, а углы между ними — α, β и γ соответственно. Тогда векторы, соответствующие этим ребрам, можно записать в виде:
a = (a, 0, 0),
b = (b cos(γ), b sin(γ), 0),
c = (c cos(β), c sin(β) cos(α), c sin(β) sin(α)).
Заметим, что векторы a и b лежат в плоскости, перпендикулярной вектору c, поэтому их скалярное произведение равно нулю:
a·b = ab cos(γ) = 0.
Таким же образом можно показать, что скалярное произведение любых других двух векторов, соответствующих ребрам тетраэдра, равно нулю. Это означает, что все углы между парами смежных ребер равны 90 градусов, т.е. все двугранные углы тетраэдра равны между собой и равны 90 градусов.
Таким образом, если все ребра тетраэдра равны, то все его двугранные углы также равны и равны 90 градусов.
Найдем теперь углы между парами смежных ребер. Для этого воспользуемся формулой косинусов:
cos(α) = (b^2 + c^2 — a^2) / (2bc),
cos(β) = (a^2 + c^2 — b^2) / (2ac),
cos(γ) = (a^2 + b^2 — c^2) / (2ab).
Подставляя в эти формулы значения длин ребер a, b и c, получаем:
cos(α) = cos(β) = cos(γ) = 1/3,
т.е. углы между парами смежных ребер равны примерно 70.53 градусов.
