Вопрос школьника
Докажите, что если все слагаемые суммы увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то сумма соответственно увеличится или уменьшится во столько же раз.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения рассмотрим произвольную сумму:
$$S = a_1 + a_2 + … + a_n$$
где $a_i$ — слагаемые суммы.
Предположим, что мы увеличили каждое слагаемое в $k$ раз, тогда новая сумма будет выглядеть следующим образом:
$$S’ = ka_1 + ka_2 + … + ka_n$$
Вынесем общий множитель $k$ за скобки:
$$S’ = k(a_1 + a_2 + … + a_n)$$
Заметим, что выражение в скобках является исходной суммой $S$. Тогда:
$$S’ = kS$$
Таким образом, мы доказали, что если все слагаемые суммы увеличить в $k$ раз, то сумма увеличится в $k$ раз.
Аналогично можно доказать, что если все слагаемые суммы уменьшить в $k$ раз, то сумма уменьшится в $k$ раз. Для этого достаточно заменить множитель $k$ на $frac{1}{k}$ в выражении $S’ = kS$.
