Вопрос школьника
Докажите, что если выпуклый многоугольник можно разбить на многоугольники, имеющие центры симметрии, то и исходный многоугольник имеет центр симметрии.
Ответ от учителя
Для начала определим, что такое центр симметрии. Центр симметрии – это точка, которая делит фигуру на две симметричные части, относительно которой каждая точка фигуры имеет симметричную точку на противоположной стороне.
Предположим, что выпуклый многоугольник можно разбить на многоугольники, имеющие центры симметрии. Это означает, что каждый из этих многоугольников имеет центр симметрии, который является точкой пересечения всех осей симметрии, проходящих через вершины многоугольника.
Теперь рассмотрим исходный многоугольник. Если он имеет центр симметрии, то мы уже доказали то, что требовалось. Если же он не имеет центра симметрии, то мы можем провести ось симметрии через любые две вершины многоугольника. Эта ось симметрии разделит многоугольник на две симметричные части. Одна из этих частей будет содержать центры симметрии всех многоугольников, на которые мы разбили исходный многоугольник. Таким образом, мы можем продолжать проводить оси симметрии через вершины многоугольника, пока не найдем точку, которая будет являться центром симметрии всего многоугольника.
Таким образом, мы доказали, что если выпуклый многоугольник можно разбить на многоугольники, имеющие центры симметрии, то и исходный многоугольник имеет центр симметрии.
