Вопрос школьника
Докажите, что градусная мера угла, образованного двумя касательными, проведенными из одной точки к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, заключенных между точками касания.
Ответ от учителя
Пусть дана окружность с центром O и две касательные к ней, проведенные из точки A. Пусть точки касания на окружности обозначены как B и C, а дуги между точками касания как AB и AC.
Так как AB и AC являются касательными к окружности, то они перпендикулярны радиусам, проведенным в точки касания. Таким образом, угол BAC является прямым углом.
Также из свойств окружности известно, что угол, образованный хордой и касательной, равен половине угла, образованного этой хордой и дугой, заключенной между ее концами. Таким образом, угол BOC равен углу BAC.
Теперь рассмотрим дуги AB и AC. Из определения дуги следует, что дуга AB равна углу AOB, а дуга AC равна углу AOC. Так как угол BOC равен углу BAC, то полуразность градусных мер дуг AB и AC равна половине градусной меры угла BOC.
Таким образом, мы доказали, что градусная мера угла, образованного двумя касательными, проведенными из одной точки к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, заключенных между точками касания.
