Вопрос школьника
Докажите, что график функции: а) у = Зх^2 + 4 целиком расположен в верхней полуплоскости; б) у = x^2 +5/x-5 не пересекает ось х; в) у = 3 – 1/x не пересекает ось у.
Ответ от учителя
а) Для того чтобы доказать, что график функции у = Зх^2 + 4 целиком расположен в верхней полуплоскости, нужно показать, что для любого значения х значение у всегда будет больше или равно нулю.
Для этого рассмотрим выражение у = Зх^2 + 4. Так как коэффициент при х^2 положительный, то график функции будет направлен вверх.
Для того чтобы показать, что график функции находится в верхней полуплоскости, нужно доказать, что у > 0 для любого значения х.
Рассмотрим два случая:
1. Если х = 0, то у = 4 > 0.
2. Если х ≠ 0, то Зх^2 > 0, а значит у = Зх^2 + 4 > 4 > 0.
Таким образом, мы доказали, что график функции у = Зх^2 + 4 целиком расположен в верхней полуплоскости.
б) Для того чтобы доказать, что график функции у = x^2 +5/x-5 не пересекает ось х, нужно показать, что у = 0 не имеет решений.
Рассмотрим уравнение x^2 +5/x-5 = 0. Умножим обе части на x-5:
x^3 — 5x^2 + 5x — 25 = 0
Заметим, что при x < 0 и x > 5 все слагаемые в этом выражении отрицательные, а значит уравнение не имеет решений в этих интервалах.
При x = 0 выражение не определено.
При x = 5 получаем:
5^2 + 5/5-5 = 25 + 5/0 = ∞
Таким образом, у = 0 не является решением уравнения, а значит график функции не пересекает ось х.
в) Для того чтобы доказать, что график функции у = 3 – 1/x не пересекает ось у, нужно показать, что у = 0 не имеет решений.
Рассмотрим уравнение 3 – 1/x = 0. Умножим обе части на x:
3x – 1 = 0
x = 1/3
Таким образом, у = 0 имеет единственное решение x = 1/3, а значит график функции пересекает ось у в точке (1/3, 0).
Следовательно, мы не можем доказать, что график функции у = 3 – 1/x не пересекает ось у.
