Вопрос школьника
Докажите, что хорда окружности, перпендикулярной к другой хорды круга и проходит через ее середину, является диаметром данного круга
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойством перпендикулярных хорд, которое гласит: «Если две хорды пересекаются внутри круга и одна из них является диаметром, то другая хорда перпендикулярна к диаметру и делит его пополам».
Пусть дан круг с центром O и диаметром AB. Пусть CD — произвольная хорда, перпендикулярная к AB и проходящая через его середину M.
Так как AB — диаметр, то угол AOB = 180°. Также угол CMD = 90°, так как CD перпендикулярна к AB. Значит, угол AMC = 90° — угол AOB/2 = 90° — 90°/2 = 45°.
Также заметим, что треугольник AMC является прямоугольным и равнобедренным, так как AM = MC (по условию) и угол AMC = 45°. Значит, угол ACM = угол CAM = 45°/2 = 22.5°.
Теперь рассмотрим треугольник ACD. Угол ACD = 90°, так как CD перпендикулярна к AB. Угол ADC = 180° — угол AOB = 180° — 180° = 0°. Значит, угол CAD = 90° — 0°/2 = 90°.
Таким образом, мы получили, что угол ACM = угол CAD. Значит, по признаку равенства треугольников AMC и ACD, AM = AD.
Но AD — это другая хорда, пересекающая диаметр AB в его середине M и делающая его пополам. Значит, по свойству перпендикулярных хорд, CD перпендикулярна к AB и является диаметром круга.
Таким образом, мы доказали, что хорда окружности, перпендикулярной к другой хорде круга и проходящей через ее середину, является диаметром данного круга.
