Вопрос школьника
Докажите, что имеют место тождества: tg (ф + 180°) = tg ф, ctg (ф + 180°) = ctg ф, tg (-Ф) = -tg ф, ctg (-ф) = -ctg ф.
Ответ от учителя
Для доказательства этих тождеств воспользуемся определением тангенса и котангенса через синус и косинус угла:
tg ф = sin ф / cos ф
ctg ф = cos ф / sin ф
Используя формулы для синуса и косинуса суммы углов, получим:
sin (ф + 180°) = sin ф cos 180° + cos ф sin 180° = -sin ф
cos (ф + 180°) = cos ф cos 180° — sin ф sin 180° = -cos ф
Тогда:
tg (ф + 180°) = sin (ф + 180°) / cos (ф + 180°) = (-sin ф) / (-cos ф) = sin ф / cos ф = tg ф
ctg (ф + 180°) = cos (ф + 180°) / sin (ф + 180°) = (-cos ф) / (-sin ф) = cos ф / sin ф = ctg ф
Для доказательства тождеств tg (-ф) = -tg ф и ctg (-ф) = -ctg ф воспользуемся свойствами тригонометрических функций:
tg (-ф) = sin (-ф) / cos (-ф) = -sin ф / cos ф = -tg ф
ctg (-ф) = cos (-ф) / sin (-ф) = cos ф / (-sin ф) = -ctg ф
Таким образом, все четыре тождества доказаны.
