Вопрос школьника
Докажите, что из всех прямоугольных треугольников с суммой катетов, равной 10 см, наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим формулу площади прямоугольного треугольника:
S = (a * b) / 2,
где a и b — катеты треугольника.
Также, из условия задачи известно, что a + b = 10.
Для доказательства того, что наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник, нужно найти зависимость площади от длин катетов и найти максимум этой зависимости.
Пусть a = b = 5 — это равнобедренный треугольник. Тогда сумма катетов равна 10, а площадь равна:
S = (5 * 5) / 2 = 12.5.
Теперь рассмотрим произвольный прямоугольный треугольник с катетами a и b, где a + b = 10. Тогда, используя формулу площади, получим:
S = (a * b) / 2 = (a * (10 — a)) / 2 = 5a — (a^2 / 2).
Для нахождения максимума этой функции, нужно найти ее производную и приравнять ее к нулю:
dS/da = 5 — a = 0,
a = 5.
Таким образом, максимум площади достигается при a = b = 5, то есть при равнобедренном треугольнике.
Таким образом, доказано, что из всех прямоугольных треугольников с суммой катетов, равной 10 см, наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник.
