Вопрос школьника
Докажите, что из всех треугольников, у которых одна сторона равна a, а другая равна b, наибольшую площадь имеет тот, у которого эти стороны взаимно перпендикулярны.
Ответ от учителя
Для доказательства этого утверждения воспользуемся формулой для площади треугольника:
S = 1/2 * a * b * sin(α),
где a и b — длины сторон треугольника, α — угол между этими сторонами.
Так как одна сторона треугольника равна a, а другая равна b, то мы можем записать:
S = 1/2 * a * b * sin(α) = 1/2 * a * b * sin(90°) = 1/2 * a * b,
где мы использовали тот факт, что sin(90°) = 1.
Таким образом, площадь треугольника зависит только от длин его сторон и не зависит от угла между ними. Это означает, что при фиксированных значениях a и b, площадь треугольника будет максимальной, когда стороны a и b будут взаимно перпендикулярны.
Для доказательства этого факта можно воспользоваться геометрическими рассуждениями. Рассмотрим два треугольника с одной стороной a и другой стороной b, но с разными углами между этими сторонами. Пусть α — угол между сторонами a и b в первом треугольнике, а β — угол между этими сторонами во втором треугольнике. Тогда мы можем записать:
sin(α) = b / c1,
sin(β) = b / c2,
где c1 и c2 — длины третьей стороны в каждом из треугольников.
Так как a и b фиксированы, то мы можем выразить c1 и c2 через α и β:
c1 = b / sin(α),
c2 = b / sin(β).
Теперь мы можем выразить площади этих треугольников через α и β:
S1 = 1/2 * a * b * sin(α) = 1/2 * a * c1 * sin(α),
S2 = 1/2 * a * b * sin(β) = 1/2 * a * c2 * sin(β).
Так как a и b фиксированы, то мы можем сравнить площади треугольников, используя только значения c1 и c2:
S1 / S2 = (c1 * sin(α)) / (c2 * sin(β)).
Теперь заметим, что sin(α) / sin(β) = cos(β) / cos(α), так как sin(α) / sin(β) = (b / c1) / (b / c2) = c2 / c1, а cos(β) / cos(α) = (a / c2) / (a / c1) = c1 / c2. Подставляя это выражение в формулу для отношения площадей, получаем:
S1 / S2 = (c1 * cos(β)) / (c2 * cos(α)).
Так как c1 и c2 — длины сторон треугольников, то они положительны. Также заметим, что cos(α) и cos(β) лежат в интервале [-1, 1]. Таким образом, отношение площадей S1 / S2 будет максимальным, когда cos(α) и cos(β) будут максимальными, то есть когда углы α и β будут равны 90°, то есть когда стороны a и b будут взаимно перпендикулярны.
Таким образом, мы доказали, что из всех треугольников, у которых одна сторона равна a, а другая равна b, наибольшую площадь имеет тот, у которого эти стороны взаимно перпендикулярны.
