Вопрос школьника
Докажите, что, каковы бы ни были векторы а, б и с, справедливы следующие равенства: а • b = b — а; (а + b) • с = а • с + b • с.
Ответ от учителя
Для доказательства первого равенства, необходимо воспользоваться определением скалярного произведения векторов:
а • б = |а| |б| cos(α),
где |а| и |б| — длины векторов, а α — угол между ними.
Также, из определения разности векторов следует, что:
б — а = (b₁ — a₁, b₂ — a₂, …, bₙ — aₙ).
Тогда, подставляя определения в первое равенство, получим:
а • б = |а| |б| cos(α) = (b₁ — a₁, b₂ — a₂, …, bₙ — aₙ),
что и доказывает первое равенство.
Для доказательства второго равенства, воспользуемся свойствами скалярного произведения:
(а + b) • с = а • с + b • с + 2(а, b),
где (а, b) — смешанное произведение векторов.
Также, можно записать смешанное произведение через определитель матрицы:
(а, b, с) = det(а, b, с),
где det — определитель матрицы.
Тогда, подставляя свойства скалярного произведения и смешанного произведения во второе равенство, получим:
(а + b) • с = а • с + b • с + 2(а, b) = а • с + b • с + 2det(а, b, с) / |с|,
что и доказывает второе равенство.
