Вопрос школьника
Докажите, что кривая, заданная уравнением у^2 = х, является параболой. Нарисуйте эту кривую. Найдите фокус и директрису этой параболы.
Ответ от учителя
Для начала, заметим, что уравнение у^2 = х можно переписать в виде у = ±√х. Это означает, что для каждого значения х существует два значения у, которые лежат на кривой.
Теперь, чтобы доказать, что эта кривая является параболой, нужно показать, что она удовлетворяет определению параболы. Парабола определяется как множество точек, равноудаленных от фокуса и директрисы.
Найдем фокус и директрису этой параболы. Для этого воспользуемся определением параболы и свойствами геометрических фигур.
Для начала, найдем координаты вершины параболы. Для этого нужно найти точку, в которой кривая достигает своего минимума или максимума.
Уравнение у^2 = х можно переписать в виде у = ±√х. Мы знаем, что парабола симметрична относительно оси у, поэтому вершина находится на оси х.
Таким образом, вершина параболы имеет координаты (0, 0).
Теперь найдем фокус и директрису. Для этого воспользуемся свойствами параболы.
Фокус параболы находится на оси симметрии, на расстоянии p от вершины, где p — фокальный параметр.
Для уравнения у^2 = х фокальный параметр равен 1/4. Таким образом, расстояние от вершины до фокуса равно 1/4.
Директриса параболы — это прямая, перпендикулярная оси симметрии и находящаяся на расстоянии p от вершины в противоположную сторону от фокуса.
Для уравнения у^2 = х директриса находится на оси х и имеет уравнение х = -1/4.
Таким образом, фокус параболы имеет координаты (1/4, 0), а директриса имеет уравнение х = -1/4.
Наконец, нарисуем эту параболу.
