Вопрос школьника
Докажите, что квадрат высоты равнобедренной трапеции ABCD, в которую можно вписать окружность, равен произведению длин оснований ВС и AD трапеции: h2 = ab, где ВС = а и AD = b, h — ее высота (рис. 64, б).
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD, в которую можно вписать окружность. Такая трапеция имеет две пары равных сторон: AB = CD и BC = DA. Пусть ВС = а и AD = b, а h — высота трапеции.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE, где E — точка пересечения диагоналей трапеции. Так как трапеция ABCD вписана в окружность, то диагонали AC и BD являются ее диаметрами. Следовательно, угол AEB прямой.
Также, из равенства сторон AB и CD следует, что угол ABE равен углу CDE. Таким образом, треугольники ABE и CDE подобны.
Из подобия треугольников ABE и CDE следует, что:
AB/CD = AE/CE = BE/DE
Так как BE = a + b (сумма оснований трапеции), а DE = 2h (диагональ трапеции), то:
(a + b)/CD = AE/CE = BE/2h
AE = h (высота трапеции), а CE = (a + b)/2 (среднее арифметическое оснований трапеции). Подставляя эти значения, получаем:
(a + b)/CD = h/[(a + b)/2]
(a + b)2/CD = 4h2
CD = (a + b)2/4h2
Аналогично, рассмотрим прямоугольный треугольник BCF, где F — точка пересечения диагоналей трапеции. Из подобия треугольников BCF и ADE получаем:
BC/AD = BF/AF = CF/EF
BF = a — b (разность оснований трапеции), а AF = 2r (диаметр вписанной окружности). Подставляя значения, получаем:
(a — b)/AD = BF/2r
AD = 2r(a — b)/BF
AD = 4r(a — b)/(a — b)2
AD = 4r/(a — b)
Таким образом, мы нашли выражения для CD и AD через радиус вписанной окружности r и размеры трапеции a и b. Теперь найдем квадрат высоты трапеции:
h2 = r2 — (a — b)2/4
h2 = r2 — (a2 — 2ab + b2)/4
h2 = r2 — a2/4 + ab/2 — b2/4
Также, из равенства сторон AB и CD следует, что:
AB = CD + 2h
AB = (a + b)2/4h + 2h
AB = (a2 + 2ab + b2)/4h
Теперь найдем произведение оснований трапеции:
ab = (a + b)2/4 — (a — b)2/4
ab = a2/4 + ab/2 + b2/4
Таким образом, мы нашли выражения для h2 и ab через радиус вписанной окружности r и размеры трапеции a и b. Подставляя найденные выражения, получаем:
h2 = r2 — a2/4 + ab/2 — b2/4
ab = a2/4 + ab/2 + b2/4
Умножим обе части второго уравнения на 4h2:
4abh2 = a2h2 + 2abh2 + b2h2
4abh2 = (a2 + 2ab + b2)h2
4abh2 = AB2h2
h2 = AB2/4
Таким образом, мы доказали, что квадрат высоты равнобедренной трапеции ABCD, в которую можно вписать окружность, равен произведению длин оснований ВС и AD трапеции: h2 = ab.
