Вопрос школьника
Докажите, что любая прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей параллелограмма, делит его на две равновеликие части.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения рассмотрим параллелограмм ABCD с диагоналями AC и BD, которые пересекаются в точке O. Пусть прямая l проходит через точку O и пересекает стороны AB и CD в точках E и F соответственно (см. рисунок).
Требуется доказать, что площади треугольников AOE и COF равны.
Рассмотрим треугольники AOE и COF. Они имеют общую высоту, которая проходит через точку O, и основания, равные соответственно сторонам AB и CD. Так как AB || CD, то AE = CF (как соответствующие углы при параллельных прямых). Также из параллельности сторон следует, что треугольники AOE и COF подобны (по признаку угол-угол), а значит, соответствующие стороны пропорциональны. То есть:
AO/OE = CO/OF
Но так как точка O является точкой пересечения диагоналей, то AO = CO и OE = OF. Поэтому:
AO/OE = CO/OF = 1
Отсюда следует, что площади треугольников AOE и COF равны, так как они имеют равные высоты и основания, пропорциональные с коэффициентом 1. Таким образом, прямая l, проходящая через точку пересечения диагоналей параллелограмма, действительно делит его на две равновеликие части.
