Вопрос школьника
Докажите, что любой отрезок, который проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма и концы которого принадлежат противолежащим сторонам параллелограмма, делится этой точкой пополам.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами параллелограмма.
Пусть дан параллелограмм ABCD, в котором диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Пусть также дан отрезок EF, который проходит через точку O и имеет концы на противолежащих сторонах параллелограмма, то есть на сторонах AB и CD.
Так как стороны AB и CD параллельны, то углы ACD и ABD являются соответственными и, следовательно, равны между собой. Аналогично, углы BCD и BAD также равны между собой.
Таким образом, треугольники AOB и COD являются подобными, так как углы ABO и CDO равны между собой, а углы AOB и COD также равны между собой. Следовательно, соотношение сторон этих треугольников равно отношению соответствующих высот:
AO/CO = BO/DO
Так как точка O является серединой диагонали AC, то AO = CO, аналогично BO = DO. Подставляя эти значения в уравнение, получаем:
AO/CO = BO/DO = 1
Таким образом, отрезок EF, проходящий через точку O и имеющий концы на противолежащих сторонах параллелограмма, делится этой точкой пополам.
