Вопрос школьника
Докажите, что медиану АА1 треугольника ABC можно вычислить по формуле АА1 =1/2 корень(2АС2 + 2АВ2 — ВС2). Используя эту формулу, докажите, что если две медианы треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим определение медианы треугольника. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Таким образом, медиана АА1 соединяет вершину А с серединой стороны ВС.
Для вычисления медианы АА1 воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника АА1С:
АС2 = АА1 2 + A1С2
Также заметим, что точка А1 является серединой стороны ВС, поэтому:
А1С = 1/2 ВС
Тогда:
A1С2 = 1/4 ВС2
Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника АА1В:
АВ2 = АА1 2 + A1В2
Но мы знаем, что A1В = A1С, так как точка А1 является серединой стороны ВС. Поэтому:
A1В2 = A1С2 = 1/4 ВС2
Тогда:
АВ2 = АА1 2 + 1/4 ВС2
Теперь выразим АА1 из первого уравнения и подставим его во второе:
АВ2 = (АС2 — A1С2) + 1/4 ВС2
АВ2 = (АС2 — 1/4 ВС2) + 1/4 ВС2
АВ2 = АС2 + 1/4 ВС2
Умножим обе части на 2:
2АВ2 = 2АС2 + 1/2 ВС2
Теперь выразим АА1:
АА1 2 = 2АВ2 — ВС2
АА1 = корень(2АВ2 — ВС2)
Но мы знаем, что A1С = 1/2 ВС, поэтому:
АА1 = корень(2АС2 + 2АВ2 — ВС2)
Таким образом, мы доказали формулу для вычисления медианы АА1 треугольника ABC.
Теперь докажем, что если две медианы треугольника равны, то треугольник равнобедренный. Пусть медианы АА1 и ВВ1 равны. Тогда:
АА1 = ВВ1
Подставим в формулу для медианы АА1:
корень(2АС2 + 2АВ2 — ВС2) = АА1 = ВВ1 = корень(2ВС2 + 2АВ2 — АС2)
Возведем обе части уравнения в квадрат:
2АС2 + 2АВ2 — ВС2 = 2ВС2 + 2АВ2 — АС2
АС2 = ВС2
Таким образом, мы доказали, что если две медианы треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
