Вопрос школьника
Докажите, что медианы треугольника разбивают его на шесть треугольников, площади которых попарно равны.
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим определение медианы треугольника. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Таким образом, каждый из трех отрезков, соединяющих вершины треугольника с серединами противоположных сторон, является медианой.
Для доказательства утверждения о разбиении треугольника на шесть треугольников, площади которых попарно равны, рассмотрим следующую картинку:
На рисунке изображен произвольный треугольник ABC и его медианы AD, BE и CF. Проведем отрезки DG, EH и FI, соединяющие середины медиан. Таким образом, мы разбили треугольник на шесть треугольников: ADE, BDF, CEF, DEF, EFG и FHI.
Для начала, заметим, что треугольники ADE, BDF и CEF являются подобными, так как соответствующие углы этих треугольников равны (они прямые, так как медианы пересекаются в точке G, являющейся центром тяжести треугольника). Кроме того, эти треугольники имеют равные высоты, так как высоты проходят через точку G, являющуюся серединой стороны треугольника. Следовательно, площади треугольников ADE, BDF и CEF равны.
Аналогично, треугольники DEF, EFG и FHI являются подобными и имеют равные высоты, проходящие через точку G. Следовательно, площади этих треугольников также равны.
Таким образом, мы доказали, что треугольник разбивается на шесть треугольников, площади которых попарно равны.
