Вопрос школьника
Докажите, что окружность, построенная на боковой стороне равнобедренного треугольника как на диаметре, проходит через середину основания
Ответ от учителя
Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = AC. Пусть M — середина стороны BC. Требуется доказать, что окружность, построенная на стороне AB как на диаметре, проходит через точку M.
Для начала построим окружность с диаметром AB. Пусть O — ее центр. Тогда, по определению, OA = OB = радиус окружности.
Рассмотрим треугольник AOM. Он является прямоугольным, так как угол OAM равен 90 градусов (по определению диаметра). Также из равнобедренности треугольника ABC следует, что угол BAC равен углу ABC. Значит, угол AOM равен половине угла BAC.
Таким образом, мы получили, что в прямоугольном треугольнике AOM известны гипотенуза OA и угол AOM. Значит, мы можем найти длину катета AM с помощью тригонометрии:
sin(AOM) = AM/OA
AM = OA*sin(AOM)
Но мы уже знаем, что OA равно радиусу окружности, а угол AOM равен половине угла BAC. Значит,
AM = (AB/2)*sin(BAC/2)
Теперь рассмотрим треугольник ABM. В нем угол B равен углу C (по равнобедренности), а угол ABM равен 90 градусов (по определению диаметра). Значит, угол BAM равен половине угла BAC.
Таким образом, мы получили, что в треугольнике ABM известны сторона AB и угол BAM. Значит, мы можем найти длину катета BM с помощью тригонометрии:
sin(BAM) = BM/AB
BM = AB*sin(BAM)
Но мы уже знаем, что AB/2 равно радиусу окружности, а угол BAM равен половине угла BAC. Значит,
BM = (AB/2)*sin(BAC/2)
Таким образом, мы получили, что AM = BM. Значит, точка M лежит на окружности с диаметром AB. Доказательство завершено.
