Вопрос школьника
Докажите, что основание одной из высот тупоугольного треугольника лежит на стороне треугольника, а основание двух других высот – на продолжениях сторон.
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим определение высоты треугольника. Высотой треугольника называется отрезок, проведенный из вершины треугольника к противолежащей стороне и перпендикулярный ей.
Таким образом, если мы проведем высоту из вершины тупоугольного треугольника, то она будет пересекать сторону треугольника, на которую она опущена, в точке, которая является основанием этой высоты. Это можно легко доказать, используя свойства перпендикуляров и прямых углов.
Теперь рассмотрим основания двух других высот. Если мы проведем высоты из вершин треугольника, то они будут пересекать стороны треугольника в точках, которые являются основаниями этих высот. Однако, если треугольник тупоугольный, то одна из этих точек будет находиться за пределами стороны треугольника, на которую опущена высота.
Но мы можем продолжить эту сторону треугольника за ее конец и провести высоту из вершины треугольника к продолжению этой стороны. Тогда эта высота будет пересекать продолжение стороны в точке, которая будет являться основанием одной из высот. Аналогично, мы можем продолжить и другую сторону треугольника и провести высоту к ее продолжению, чтобы получить основание второй высоты.
Таким образом, мы доказали, что основание одной из высот тупоугольного треугольника лежит на стороне треугольника, а основание двух других высот – на продолжениях сторон.
