Вопрос школьника
Докажите, что острый угол между хордой окружности и касательной к окружности в конце хорды равен половине угла между радиусами, проведенными к концам хорды
Ответ от учителя
Пусть дана окружность с центром O и радиусом r. Пусть AB — хорда окружности, а T — точка касания касательной к окружности в конце хорды AB. Проведем радиусы OA и OB.
Так как OT — касательная к окружности, то OT перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Значит, угол AOT — прямой.
Также заметим, что угол OAB равен углу OBA, так как они соответственно равны дугам AB и BA, которые равны между собой.
Тогда угол AOB равен удвоенному углу OAB (или углу OBA).
Также заметим, что треугольник AOT является прямоугольным, так как OT перпендикулярна AO.
Тогда угол AOT равен углу OAT, так как они соответственно равны углам, лежащим против равных сторон треугольника.
Таким образом, угол BAT равен сумме углов AOT и OAB, то есть углу AOB.
Но угол AOB равен удвоенному углу OAT, так как они соответственно равны углам, лежащим против равных сторон треугольника.
Таким образом, угол BAT равен удвоенному углу OAT, то есть половине угла между радиусами, проведенными к концам хорды.
